Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2，且∠A₁AD=∠A₁AB=60°,AC与BC交于点O.

(1)求证：A₁O⊥平面ABCD；

(2)求BC₁与底面ABCD所成的角；

(3)求侧棱AA₁和截面B₁D₁DB的距离.

Answer 1

(1)证明：连结A₁D、A₁B,

由已知可得△AA₁B和△A₁AD为全等的正三角形.

∴A₁B=A₁D₁,

∴A₁O⊥BD.

又AB=AD，BD=BD，∴△ABD≌△A₁BD，A₁O=AO=，

又AA₁=2，∴A₁O⊥AO，

∴A₁O⊥平面ABCD.

(2)解：过C₁作C₁H⊥AC交AC的延长线于H，则C₁H⊥平面ABCD，

连结BH，则∠C₁BH为BC₁与平面ABCD所成的角.

∵OH=A₁C₁=，BO=，

∴BH=.

∴tanC₁BH=，

∴∠C₁BH=arctan.

((2)也可用向量法求解)

(3)解：连结OO₁，易知AA₁∥OO₁，面AA₁O₁O⊥面BDD₁B₁,

作A₁G⊥OO₁，则A₁G为AA₁与面B₁D₁DB的距离.由(1)知A₁O=AO=A₁O₁，A₁O⊥A₁O₁,∴A₁G=OO₁=1

((3)也可用向量法或等积法求解).