【题目】数列满足
,
.
(1)设,求数列
的通项公式;
(2)设,求数列
的前n项和为
.
【答案】(1);(2)
.
【解析】(1)由已知,得
,
即,即
,即
.(2分)
所以,
,…,
,
以上各式相加得.
又,所以
.(5分)
(2)由(1)知,所以
,
.(7分)
所以
.(10分)
【易错提醒】(1)对递推式变形时,应明确方向,准确把握数列的递推关系,通过变形将其转化为常见的等差、等比数列问题求解是解决此类问题的基本思路;(2)构造新数列时,一定要注意原数列的项与新数列的项之间的对应,如本题中第(1)问,,则
的表达式既不是
,也不是
,而是
,即把式子中所有的
都换成
.
【解题技巧】求解数列递推关系式问题的基本原则就是对数列的递推式进行变换,把原问题转换为等差、等比数列进行处理.转化的常用方法有:(1)待定系数法,如,可以通过待定系数
将其转化为形如
的等比数列;(2)取倒数法,如本题;(3)观察变换法,如
,可以在两端同时除以
,转化为形如
的等差数列;(4)取对数法等.求解数列递推关系式问题要注意选取合适的变换递推式的方法,通过变换进行解答,在变换时要小心谨慎.
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【题目】在四棱锥中,
,
,
,
,
,
,且
平面
.
(1)设平面平面
,求证:
.
(2)求证: .
(3)设点为线段
上一点,且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的值.
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【题目】对于,若数列
满足
,则称这个数列为“K数列”.
(Ⅰ)已知数列:1,m+1,m2是“K数列”,求实数的取值范围;
(Ⅱ)是否存在首项为-1的等差数列为“K数列”,且其前n项和
满足
?若存在,求出
的通项公式;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”,数列
不是“K数列”,若
,试判断数列
是否为“K数列”,并说明理由.
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【题目】设圆的圆心在
轴上,并且过
两点.
(1)求圆的方程;
(2)设直线与圆
交于
两点,那么以
为直径的圆能否经过原点,若能,请求出直线
的方程;若不能,请说明理由.
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【题目】(本小题满分10分)
某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润,最大利润是多少?
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【题目】(本小题满分10分)
(2017天津)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
连续剧播放时长(分钟) | 广告播放时长(分钟) | 收视人次(万) | |
甲 | 70 | 5 | 60 |
乙 | 60 | 5 | 25 |
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用,
表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(1)用,
列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多?
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【题目】已知椭圆,且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为
,最小距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的动直线
交椭圆
于
两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点
,使得以线段
为直径的圆恒过点
?若存在,求出点
的坐标:若不存在,请说明理由.
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【题目】从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中,选出适当的一种填空:
(1)记集合A={-1,p,2},B={2,3},则“p=3”是“A∩B=B”的__________________;
(2)“a=1”是“函数f(x)=|2x-a|在区间上为增函数”的________________.
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