Question

已知集合A={x|x²-4x-5＞0}，B={x|ax²+bx+c≤0}，若A∩B=∅，A∪B=R，则

c2

a

+

a

b2

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,交集及其运算

专题：集合

分析：先根据A∩B=∅和A∪B=R可知A的端点就是B的端点值，因此可求得a，b，c的关系式，再用a把b，c表示出来，再进一步研究结论的最小值．

解答： 解：A={x|x²-4x-5＞0}={x|x＜-1或x＞5}，又因为A∩B=∅，A∪B=R，结合一元二次不等式的解法可知
x=-1，5是方程ax²+bx+c=0的根，且a＞0，由韦达定理得

4=- b a -5= c a

，所以b=-4a，c=-5a，
代入

c2

a

+

a

b2

=25a+

1

16a

≥2

25a× 1 16a

=

5

2

，当且仅当25a=

1

16a

即a=

1

20

时取等号．
故答案为：

5

2

．

点评：A的集合可求出来，且易知A的端点就是B的解，而且a还必须大于0，那么b和c可用a表示出来，最后用基本不等式求解即可．