Question

在长方形AA₁B₁B中，AB=2AA₁=4，C，C₁分别是AB，A₁B₁的中点（如图1）．将此长方形沿CC₁对折，使二面角A₁-CC₁-B为直二面角，D，E分别是A₁B₁，CC₁的中点（如图2）．
（Ⅰ）求证：C₁D∥平面A₁BE；
（Ⅱ）求证：平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B；
（Ⅲ）求直线BC₁与平面A₁BE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据C，C₁分别是AB，A₁B₁的中点，则CC₁⊥BC，CC₁⊥AC，∠ACB是二面角A₁-CC₁-B的平面角，从而BC⊥AC，所以CA，CB，CC₁两两垂直，以点C为原点，分别以CA，CB，CC₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出平面A₁BE的法向量为n和向量，根据向量与平面A₁BE的法向量垂直可知C₁D∥平面A₁BE．
（Ⅱ）先求出平面AA₁B₁B的法向量为m，根据平面A₁BE的法向量为n与法向量为m垂直，从而证得平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B．
（Ⅲ）先求出向量，设直线BC₁与平面A₁BE所成角为θ，则，从而求出所求．
解答：（Ⅰ）证明：由已知，将长方形AA₁B₁B沿CC₁对折后，二面角A₁-CC₁-B为直二面角，因为在长方形AA₁B₁B中，C，C₁分别是AB，A₁B₁的中点，所以CC₁⊥BC，CC₁⊥AC．即∠ACB是二面角A₁-CC₁-B的平面角．
所以∠ACB=90°．所以BC⊥AC．
所以CA，CB，CC₁两两垂直．
以点C为原点，分别以CA，CB，CC₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．…（1分）
因为AB=2AA₁=4，且D，E分别是A₁B₁，CC₁的中点，
所以C₁（0，0，2），D（1，1，2），A₁（2，0，2），B（0，2，0），E（0，0，1）．…（2分）
所以，．
设平面A₁BE的法向量为n=（x，y，z），
所以所以
令y=1，则z=2，x=-1．
所以n=（-1，1，2）．…（3分）
又因为．
所以．
又因为C₁D?平面A₁BE，
所以C₁D∥平面A₁BE．…（4分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知A（2，0，0），A₁（2，0，2），B（0，2，0），，．
设平面AA₁B₁B的法向量为m=（x，y，z），
所以所以
令y=1，则x=1，z=0，所以m=（1，1，0）．…（6分）
由（Ⅰ）知，平面A₁BE的法向量为n=（-1，1，2）．
所以m•n=（1，1，0）•（-1，1，2）=0．
所以m⊥n．所以平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B．…（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，B（0，2，0），C₁（0，0，2）．所以．
又由（Ⅰ）知，平面A₁BE的法向量为n=（-1，1，2）．…（10分）
设直线BC₁与平面A₁BE所成角为θ，则．
所以直线BC₁与平面A₁BE所成角的正弦值为．…（13分）
点评：本题主要考查了利用空间向量证明线面平行，面面垂直和线面所成角的度量，同时考查了推理论证的能力和计算能力，属于中档题．