Question

求函数y=5

x2+2x+3

-

x2+4x+5

的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：通过对函数求导找到函数的单调区间，确定最小值，从而确定函数的值域．

解答： 解：y′=5•

1

2

(x2+2x+3)-

1

2

•（x²+2x+1）′-

1

2

(x2+4x+5)-

1

2

•（x²+4x+5）′
=

5(x+1)

x2+2x+3

-

x+2

x2+4x+5

，
令y′=0，
∴

5(x+1) x2+4x+5 -(x-2) x2+2x+3

x2+2x+3 • x2+4x+5

=0
∴解得：x=-

3

4

．
∴在（-∞，-

3

4

）上y单调递减，在（-

3

4

，+∞）单调递增，
∴当x=-

3

4

时，y最小，y最小=

5 17 - 41

4

，
∴函数y的值域为：[

5 17 - 41

4

，+∞）．

点评：本题考察了函数的值域问题，通过求导是求函数值域的方法之一，本题是一道基础题．