Question

4．已知点A（2，3），B（-1，1）和直线l：x+y+1=0．
（1）求直线AB与直线l的交点C的坐标；
（2）求过点A且与直线l平行的直线方程；
（3）在直线l上求一点P，使PA+PB取得最小值．

Answer 1

分析 （1）利用点斜式求出直线AB的方程，与直线l：x+y+1=0联立，可得C的坐标；
（2）设直线方程为x+y+c=0，代入A，可得过点A且与直线l平行的直线方程；
（3）求出A关于直线l的对称点为D，直线BD的方程，与直线l：x+y+1=0联立，可得点P，使PA+PB取得最小值．

解答 解：（1）∵点A（2，3），B（-1，1），
∴直线AB的方程为y-1=$\frac{2}{3}$（x+1），即2x-3y+5=0，
与直线l：x+y+1=0联立，可得C（-$\frac{8}{5}$，$\frac{3}{5}$）；
（2）设直线方程为x+y+c=0，代入A，可得c=-5，
∴过点A且与直线l平行的直线方程为x+y-5=0；
（3）设A关于直线l的对称点为D（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-3}{a-2}=1}\\{\frac{2+a}{2}+\frac{3+b}{2}+1=0}\end{array}\right.$，∴a=-4，b=-3，
直线BD的方程为y+3=$\frac{1+3}{-1+4}$（x+4），即4x-3y+7=0，
与直线l：x+y+1=0联立，可得P（-$\frac{10}{7}$，$\frac{3}{7}$）．

点评 本题考查直线方程，考查对称点的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．