Question

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。

（1）求O点到面ABC的距离；
（2）求异面直线BE与AC所成的角；
（3）求二面角E-AB-C的大小。

Answer 1

解：（1）取BC的中点D，连AD、OD 因为OB=OC， 则OD⊥BC、AD⊥BC， ∴BC⊥面OAD 过O点作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC， OH的长就是所求的距离 又BC=2，OD==， 又OA⊥OB，OA⊥OC  ∴OA⊥面OBC，则OA⊥OD AD==，在 直角三角形OAD中，有OH=。 （2）取OA的中点M，连EM、BM，则EM//AC， ∠BEM是异面直线BE与AC所成的角， 易求得EM=，BE=，BM= 由余弦定理可求得cos∠BEM=， ∴∠BEM=arccos。 （3）连CM并延长交AB于F，连OF、EF 由OC⊥面OAB，得OC⊥AB， 又OH⊥面ABC， 所以CF⊥AB，EF⊥AB， 则∠EFC就是所求的二面角的平面角 作EG⊥CF于G，则EG=OH=， 在Rt△OAB中，OF= 在Rt△OEF中，EF=  ∴sin∠EFG= ∠EFG=arcsin。