Question

某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.

（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；

（2）求这三人该课程考核都合格的概率.（结果保留三位小数）

Answer 1

解析：把甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格用几个事件的和或积表示出来；把这三人该课程考核都合格用几个事件的积表示出来，然后求它们的概率.

记“甲理论考核合格”为事件A₁;“乙理论考核合格”为事件A₂；“丙理论考核合格”为事件A₃；记事件为事件A_i的对立事件,i=1,2,3.

记“甲实验考核合格”为事件B₁；“乙实验考核合格”为事件B₂；“丙实验考核合格”为事件B₃.

（1）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记为事件C的对立事件.

方法1：P(C)=P(A₁A₂+A₁A₃+A₂A₃+A₁A₂A₃)=P(A₁A₂)+P(A₁A₃)+P(A₂A₃)

+P(A₁A₂A₃)=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7=0.902.

方法2：P(C)=1-P()=1-P()=

1-［P］=1-(0.1×0.2×0.3+0.9×0.2×0.3+0.1

×0.8×0.3+0.1×0.2×0.7)=1-0.098=0.902.

所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902.

（2）记“三人该课程都合格”为事件D，

P(D)=P［(A₁·B₁)·(A₂·B₂)·(A₃·B₃)］

=P(A₁·B₁)·P(A₂·B₂)·P(A₃·B₃)

=P(A₁)·P(B₁)·P(A₂)·P(B₂)·P(A₃)·P(B₃)

=0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9

=0.254 016≈0.254.

所以，这三人该课程考核都合格的概率约为0.254.

小结:把复杂事件表示成几个相对简单事件的和、积或对立事件，转化成用简单事件的概率来求复杂事件的概率，这种转化思想对求复杂事件的概率非常有用.