Question

对称轴为坐标轴，顶点在坐标原点的抛物线C经过两点A（a，2a）、B（4a，4a），（其中a为正常数）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设动点T（m，0）（m＞a），直线AT、BT与抛物线C的另一个交点分别为A₁、B₁，当m变化时，记所有直线A₁B₁组成的集合为M，求证：集合M中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．

Answer 1

分析：（1）由于两点在第一象限内，故抛物线开口向右或向上，由此分两种情况利用待定系数法求得抛物线的标准方程；
（2）先将点A₁、B₁的坐标用a、m表示，再利用点斜式写出直线A₁B₁的方程，证明其斜率随m的变化而单调变化，即可证明集合M中的任意两条直线都相交，证明直线的截距不为零即可证明交点都不在坐标轴上．

解答：解：（1）当抛物线焦点在x轴上时，设抛物线方程y²=2Px，
∵

4a2=2pa 16a2=8pa

∴P=2a
∴y²=4ax
当抛物线焦点在y轴上时，设抛物线方程x²=2py
∵

a2=4pa 16a2=8pa

∴方程无解，抛物线不存在
∴抛物线C的方程y²=4ax
（2）设A₁（as²，2as）、B₁（at²，2at）  T（m，0）（m＞a）
∵k_TA=k_TA1 ∴

2a

a-m

=

2as

as 2-m

∴as²+（m-a）s-m=0
∵（as+m）（s-1）=0∴S=-

m

a

∴A₁（

m 2

a

，-2m） 
∵k_TB=k_TB1 ∴

4a

4a-m

=

2at

at 2-m

∵2at²+（m-4a）t-2m=0∴（2at+m）（t-2）=0
∴t=-

m

2a

∴B₁（

m 2

4a

，-m） 
∴l_A1B1的直线方程为y+2m=

-2m+m

m 2 a - m 2 4a

（x-

m 2

a

）
∵直线的斜率为f（m）=-

4a

3m

在m∈（a，+∞）单调
∴所以集合M中的直线必定相交，
∵直线的横截距为-

m 2

2a

≠0，纵截距为-

2m

3

≠0
∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．

点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，待定系数法求曲线方程，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线相交的意义等知识，属中档题