Question

已知f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）当a=-1，b=2，c=4时，求f（x）≤1的解集；
（Ⅱ）当f（1）=f（3）=0，且当x∈（1，3）时，f（x）≤1恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）表示出f（x），再解二次不等式即可；
（Ⅱ）由f（1）=f（3）=0，可得f（x）=a（x-1）（x-3），分离出参数a后，f（x）≤1可化为-a≤

1

(x-1)(3-x)

在x∈（1，3）恒成立，利用基本不等式可求

1

(x-1)(3-x)

的最小值，从而得a的范围，进而得a的最小值；

解答：解：（Ⅰ）当a=-1，b=2，c=4时，f（x）=-x²+2x+4，
则f（x）≤1即x²-2x-3≥0，
∴（x-3）（x+1）≥0，解得x≤-1，或x≥3．
所以不等式f（x）≤1的解集为{x|x≤-1，或x≥3}；
（Ⅱ）因为f（1）=f（3）=0，
所以f（x）=a（x-1）（x-3），f（x）=a（x-1）（x-3）≤1在x∈（1，3）恒成立，即-a≤

1

(x-1)(3-x)

在x∈（1，3）恒成立，
而0＜(x-1)(3-x)≤[

(x-1)+(3-x)

2

]2=1，当且仅当x-1=3-x，即x=2时取到等号．     
∴

1

(x-1)(3-x)

≥1，
所以-a≤1，即a≥-1．
所以a的最小值是-1；
（Ⅱ）或解：f（x）=a（x-1）（x-3）≤1在x∈（1，3）恒成立，
即a（x-1）（x-3）-1≤0在x∈（1，3）恒成立．
令g（x）=a（x-1）（x-3）-1=ax²-4ax+3a-1=a（x-2）²-a-1．
①当a=0时，g（x）=-1＜0在x∈（1，3）上恒成立，符合；     
②当a＞0时，易知在x∈（1，3）上恒成立，符合；             
③当a＜0时，则-a-1≤0，所以-1≤a＜0．               
综上所述，a≥-1
所以a的最小值是-1．

点评：本题考查二次不等式的解法、二次函数的性质及函数恒成立问题，函数恒成立问题常常转化为函数最值解决．