Question

为改善行人过马路难的问题，市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD（AB=60米，AD=104米）内修建一座过街天桥，天桥的高GM与HN均为米，，AE，EG，HF，FC的造价均为每米1万元，GH的造价为每米2万元，设MN与AB所成的角为α（α∈[0，]），天桥的总造价（由AE，EG，GH，HF，FC五段构成，GM与HN忽略不计）为W万元．
（1）试用α表示GH的长；
（2）求W关于α的函数关系式；
（3）求W的最小值及相应的角α．

Answer 1

【答案】分析：（1）先确定MP的值，再在Rt△NMT中，即可用α表示GH的长；
（2）利用AE，EG，HF，FC的造价均为每米1万元，GH的造价为每米2万元，即可求出W关于α的函数关系式；
（3）求导函数，确定函数的单调性，即可求出W的最小值及相应的角α．
解答：解：（1）由题意可知∠MNP=α，故有MP=60tanα，所以在Rt△NMT中，…（6分）
（2）=
=．…（11分）
（3）设（其中，
则．
令f'（α）=0得1-2sinα=0，即，得．
列表

α
f'（α）	+		-
f（α）	单调递增	极大值	单调递减

所以当时有，此时有．
答：排管的最小费用为万元，相应的角．…（16分）
点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．