Question

函数f（x）=|2^x-1|（x＜1），则关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3个不同实数解的充分条件是（　　）

A．-1＜b＜0且c＞0

B．0＜b＜1且c＜0

C．-1＜b＜0且c=0

D．0≤b＜1且c＜0

Answer 1

分析：利用换元法，利用一元二次方程根的存在性确定b，c的范围即可．

解答：解：设t=f（x）=|2^x-1|（x＜1），作出t的图象如图，
则由图象可知，当x=0时，t有一个值，
当x＜1且x≠0时，t有两个值，且0＜t＜1．
则方程f²（x）+bf（x）+c=0等价为t²+bt+c=0，
要使方程方程f²（x）+bf（x）+c=0有3个不同实数解，则等价为方程t²+bt+c=0的一个根t=0，另外一个根0＜t＜1，
即c=0，-1＜b＜0，
故选：C．

点评：本题根据含有绝对值的三次函数，讨论方程根的个数．着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性和一元二次方程根的分布的讨论等知识点，属于中档题．