已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中0<α<β<π.
(1)求证:a+b与a-b互相垂直;
(2)若ka+b与a-kb的长度相等,求β-α的值(k为非零的常数).
(1)由题意得:a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ) a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ) 3分 ∴(a+b)·(a-b)=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ) =cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=1-1=0 ∴a+b与a-b互相垂直. 6分 (2)方法一:ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ), a-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ) 8分 |ka+b|=,|a-kb|= 9分 由题意,得4cos(β-α)=0,因为0<α<β<π,所以β-α=. 12分 方法二:由|ka+b|=|a-kb|得:|ka+b|2=|a-kb|2 即(ka+b)2=(a-kb)2,k2|a|2+2ka·b+|b|2=|a|2-2ka·b+k2|b|2 8分 由于|a|=1,|b|=1 ∴k2+2ka·b+1=1-2ka·b+k2,故a·b=0, 即(cos,sin)·(cos,sin)=0 10分 Þ 因为0<α<β<π,所以β-α=. 12分 |
科目:高中数学 来源:高中数学全解题库(国标苏教版·必修4、必修5) 苏教版 题型:044
已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且(k>0).
(1)用k表示a·b;
(2)求a·b的最小值,并求此时a、b的夹角的大小.
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科目:高中数学 来源:“伴你学”新课程 数学·必修3、4(人教B版) 人教B版 题型:047
已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π),求证:a+b与a-b互相垂直.
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科目:高中数学 来源:高中数学全解题库(国标苏教版·必修4、必修5) 苏教版 题型:044
已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),α∈,,a·b=,求sinα的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
A.0° B.30°
C.60° D.90°
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科目:高中数学 来源: 题型:单选题
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