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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为
    2
    3
    ，科目B每次考试成绩合格的概率均为
    1
    2
    ．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
    （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
    （Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．
    分析：（1）不需要补考就获得证书的事件表示科目A第一次考试合格且科目B第一次考试合格，这两次考试合格是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果．
    （2）参加考试的次数为ξ，由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，根据相互独立事件同时发生的概率写出概率，求出期望．
    解答：解：设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；
    “科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2．
    （Ⅰ）不需要补考就获得证书的事件为A1•B1，注意到A1与B1相互独立，
    根据相互独立事件同时发生的概率
    可得P(A1•B1)=P(A1)×P(B1)=
    2
    3
    ×
    1
    2
    =
    1
    3
    ．
    即该考生不需要补考就获得证书的概率为
    1
    3
    ．
    （Ⅱ）由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，
    根据相互独立事件同时发生的概率
    可得P(ξ=2)=P(A1•B1)+P(
    .
    A1
    •
    .
    A2
    )
    =
    2
    3
    ×
    1
    2
    +
    1
    3
    ×
    1
    3
    =
    1
    3
    +
    1
    9
    =
    4
    9
    ．
    P(ξ=3)=P(A1•
    .
    B1
    •B2)+P(A1•
    .
    B1
    •
    .
    B2
    )+P(
    .
    A1
    •A2•B2)
    =
    2
    3
    ×
    1
    2
    ×
    1
    2
    +
    2
    3
    ×
    1
    2
    ×
    1
    2
    +
    1
    3
    ×
    2
    3
    ×
    1
    2
    =
    1
    6
    +
    1
    6
    +
    1
    9
    =
    4
    9
    ，
    P(ξ=4)=P(
    .
    A1
    •A2•
    .
    B2
    •B2)+P(
    .
    A1
    •A2•
    .
    B1
    •
    .
    B2
    )
    =
    1
    3
    ×
    2
    3
    ×
    1
    2
    ×
    1
    2
    +
    1
    3
    ×
    2
    3
    ×
    1
    2
    ×
    1
    2
    =
    1
    18
    +
    1
    18
    =
    1
    9
    ，
    ∴Eξ=2×
    4
    9
    +3×
    4
    9
    +4×
    1
    9
    =
    8
    3
    ．
    即该考生参加考试次数的数学期望为
    8
    3
    ．
    点评：本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题，解决问题的能力对于概率大家都知道要避免会而不全的问题，上述问题就是考虑不周全所造成的，所以建议让学生一定注重题干中的每一句话，每一个字的意思．只有这样才能做到满分．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可以继续参加科目B的考试．每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书，现在某同学将要参加这项考试，已知他每次考科目A成绩合格的概率均为
    2
    3
    ，每次考科目B成绩合格的概率均为
    1
    2
    ．假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会，且每次的考试成绩互不影响，记他参加考试的次数为X．
    （1）求X的分布列和均值；
    （2）求该同学在这项考试中获得合格证书的概率．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为
    2
    3
    ，科目B每次考试成绩合格的概率均为
    1
    2
    ．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
    （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
    （Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求p（ξ=3）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目A的正考和补考成绩合格的概率分别为
    2
    3
    、
    3
    4
    ，科目B的正考和补考成绩合格的概率均为
    1
    2
    ，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
    （1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
    （2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （本小题满分12分）

    某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响。

    （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；

    （Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E。

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