Question

已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)²＋y²＝64相内切．

(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；

(2)设直线l：y＝kx＋m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)圆M：(x－2)2＋x2＝64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R＝8． 　　∵|AM|＝4＜R，∴点A(－2，0)在圆M内， 　　设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r＝|CA|，且|CM|＝R－r， 　　即|CM＋|CA|＝8＞|AM|　　3分 　　∴圆心CD的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆， 　　设其方程为(a＞b＞0)，则a＝4，c＝2， 　　∴b2＝a2－c2＝12，∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为　　5分 　　(2)由消去y化简整理得：(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－48＝0， 　　设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝． 　　△1＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－48)＞0　①　　7分 　　由消去y化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12＝0， 　　设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3＋x4＝． 　　△2＝(－2km)2＋4(3－4k2)(m2＋12)＞0　②　　9分 　　∵，∴(x4－x2)＋(x3－x1)＝0，即x1＋x2＝x3＋x4， 　　∴，∴2 km＝0或， 　　解得k＝0或m＝0　　11分 　　当k＝0时，由①、②得， 　　∵m∈Z，∴m的值为－3，－2，－1，0，1，2，3； 　　当m＝0时，由①、②得， 　　∵k∈Z，∴k＝－1，0，1． 　　∴满足条件的直线共有9条．