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已知a为给定的正实数,m为实数,函数f (x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1.

(Ⅰ)若f(x)在(0,3)上无极值点,求m的值;

(Ⅱ)若存在x0∈(0,3),使得f(x0)是f(x)在[0,3]上的最值,求m的取值范围.

 

【答案】

(Ⅰ)a;(Ⅱ)m≤或m≥

【解析】

试题分析:(Ⅰ) 求原函数的导函数,则导函数恒大于等于0,即可得所求;(Ⅱ)由(Ⅰ)知导函数时等于0,则为函数的极值,要使有最值,再看导函数为0时的另外一个根的范围,然后分情况讨论:①时,显然为最值;②时,先求(0,3)上的极值,然后再与端点函数值比较满足题意求m;③时,先求(0,3)上的极值,然后再与端点函数值比较满足题意求m,综合①②③可得m的取值范围.

试题解析:(Ⅰ)由题意得f′(x)=3ax2-6(m+a)x+12m=3(x-2)(ax-2m),

由于f(x)在(0,3)上无极值点,故=2,所以m=a.                         5分

(Ⅱ)由于f′(x)=3(x-2)(ax-2m),故

(i)当≤0或≥3,即m≤0或m≥a时,

取x0=2即满足题意.此时m≤0或m≥a.

(ii)当0<<2,即0<m<a时,列表如下:

x

0

(0,)

(,2)

2

(2,3)

3

f ′(x)

 

0

0

 

f (x)

1

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

9m+1

故f(2)≤f(0)或f()≥f(3),

即-4a+12m+1≤1或+1≥9m+1,

即3m≤a或≥0,

即m≤或m≤0或m=.此时0<m≤

(iii)当2<<3,即a<m<时,列表如下:

x

0

(0,2)

2

(2,)

(,3)

3

f ′(x)

 

0

0

 

f(x)

1

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

9m+1

故f()≤f(0)或f(2)≥f(3),

+1≤1或-4a+12m+1≥9m+1,

≤0或3m≥4a,

即m=0或m≥3a或m≥

此时≤m<

综上所述,实数m的取值范围是m≤或m≥.               14分

考点:1、导函数的性质;2、利用导函数求极值;3、分类讨论法.

 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
ax3+x2,x<1
blnx  ,x≥1
,函数f(x)在x=
2
3
处取得极值.
(1)求实数a的值;
(2)若b≤2,t<0,函数f(x)在[t,e](e为自然对数的底数)上的最大值为2,求实数t的取值范围;
(3)对任意给定的正实数b,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?

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(2012•蓝山县模拟)已知函数f(x)=
-x3+x2+bx+c,(x<1)
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和图象过坐标原点O,且在点(-1,f(-1))处的切线的斜率是-5.
(1)求实数b,c的值;
(2)求函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值;
(3)若函数y=f(x)图象上存在两点P,Q,使得对任意给定的正实数a都满足△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上,求点P的横坐标的取值范围.

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x3+x2(x<1)
alnx(x≤1)

(Ⅰ)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值;
(Ⅱ)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?

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已知函数f(x)=
-x3+x2+bx+c(x<1)
alnx(x≥1)
,的图象过点(-1,2),且在点(-1,f(-1))处的切线与直线x-5y+1=0垂直.
(1)求实数b,c的值;
(2)若P,Q是曲线y=f(x)上的两点,且△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,此三角形斜边的中点在y轴上,则对任意给定的正实数a,满足上述要求的三角形有几个?

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