Question

已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0
（1） 试举出满足条件的一个函数
（2） 证明f（1）=0；
（3） 讨论函数y=f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0想到底数大于1的对数函数满足此运算性质，故可以举一个底数大于1的对数函数；
（2）分别对x=y=1赋值，即可证f（1）=0；
（3）根据函数单调性的定义讨论函数的单调性．

解答：解．（1）y=log₂^x．
（2）证明：因为对于任意x，y∈（0，+∞），有f（x•y）=f（x）+f（y）
所以可令x=y=1，则有f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0．

（3）设任意实数x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁，
则f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

•x2)-f(x2)=f(

x1

x2

)+f(x2)-f(x2)=f(

x1

x2

)．
因为x₁，x₂∈（0，+∞），x₂＜x₁
所以

x1

x2

＞1，又当x＞1时有f（x）＞0
所以f(

x1

x2

)＞0即f（x₁）-f（x₂）＞0
所以f（x₁）＞f（x₂）函数在（0，+∞）是单调增函数．

点评：考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，对于解决抽象函数的一般采用赋值法，求某些点的函数值和证明不等式等，属中档题．