Question

（不等式选做题）对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

Answer 1

解法一：∵|x-1|≤1，|y-2|≤1，∴|x-y+1|=|（x-1）-（y-2）|≤|x-1|+|y-2|≤1+1=2，
（当且仅当 x=2，y=3，或x=0，y=1时取等号），
故|x-y+1|的最大值为2．
解法二：∵|x-1|≤1，|y-2|≤1，∴-1≤x-1≤1 且-1≤y-2≤1，
即-1≤x-1≤1 且-1≤2-y≤1．
相加可得-2≤x-y+1≤2，即|x-y+1|≤2，故|x-y+1|的最大值为2．
分析：解法一：利用绝对值不等式的性质得|x-y+1|=|（x-1）-（y-2）|≤|x-1|+|y-2|，再利用条件求得|x-y+1|的最大值．
解法二：由条件可得-1≤x-1≤1 且-1≤2-y≤1，相加可得-2≤x-y+1≤2，即|x-y+1|≤2，从而求得|x-y+1|的最大值．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的性质的应用，属于中档题．