Question

在数列{a_n}中，a₁=2，且（n∈N*，且n≥2），设，
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等差数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）记数列的前n项和为S_n，若对于任意的正整数n恒有m²-≤S_n，求实数m的取值范围。

Answer 1

(Ⅰ)证明：由（n∈N*，且n≥2），且，
故，即（n∈N*，且n≥2），
又，
所以数列{b_n}是首项b₁=2，公差d=1的等差数列，
其通项公式b_n=b₁+(n-1)d=2+n-1=n+1；
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，得b_n=n+1，即，故a_n=n(n+1) ，
∴，
故数列的前n项和为
，
由于随着n的增大而增大，
故当n=1时，S_n取得最小值，
又对于任意的正整数n恒有，
故，即m²≤4，解得-2≤m≤2，
∴实数m的取值范围为[-2，2]。