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已知是定义在实数集上的奇函数,且当时,

(1)求函数上的解析式;

(2)判断上的单调性并证明;

(3)对于任意,不等式恒成立,求的取值范围.

 

【答案】

(1);(2)见解析;(3).

【解析】(1)当x∈(-,0), 则-x∈(0,),根据

同时注意f(0)=0.

(2)要利用单调性的定义来判断.或利用导数也可以.

(3)解本题的关键是把原不等式转化为,下一步的关键是确定当时,

结合图像可知恒成立.进而不等式转化为恒成立问题解决即可.

解:(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴ f(0)=0------------------1分

x∈(-,0), 则-x∈(0,),

-------------3分

----------------------4分

(2)设,有

------8分

,∴,∴

f(x)在(,0)上为减函数------------------------9分

(3)由

------------------10分

    又当时,

结合图像可知恒成立,故恒成立-------12分

--------------------------------15分

 

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