Question

若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a⁴+b⁴=c⁴，则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形

B．钝角三角形

C．锐角三角形

D．不能确定

Answer 1

分析：由题意可得 （a²+b²）²-c⁴ =2a²b²＞0，△ABC中，由余弦定理可得 cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞0，故角C 为锐角，再根据c边为最大边，故角C 为△ABC的最大角，从而得出结论．

解答：解：∵△ABC的三边长分别为a，b，c，且a⁴+b⁴=c⁴，∴（a²+b²）²=a⁴+b⁴ +2a²b²=c⁴+2a²b²．
∴（a²+b²）²-c⁴ =2a²b²＞0．
又 （a²+b²）²-c⁴ =（a²+b²+c²） （a²+b²-c²），∴（a²+b²-c²）＞0．
△ABC中，由余弦定理可得 cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞0，故角C 为锐角．
再由题意可得，c边为最大边，故角C 为△ABC的最大角，∴△ABC是锐角三角形，
故选：C．

点评：本题主要考查余弦定理的应用，以及三角形中大边对大角，求得 cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞0，是解题的关键．