Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n，则$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 利用递推关系与“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n，∴当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n-$[\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{1}{2}（n-1）]$，化为a_n=n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推关系与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．