Question

（2009•黄浦区一模）如图所示，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=3，AB=AA₁=4，M是A₁B₁的中点．
（1）求BM与平面ACD₁所成的角；
（2）求点M到平面ACD₁的距离．

Answer 1

分析：（1）首先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再求出向量

BM

的坐标和平面ACD₁的法向量

n

，最后求

BM

与

n

的夹角的余弦值，取绝对值后即为线面角的正弦值
（2）由（1）知平面ACD₁的法向量

n

，再求向量

AM

的坐标，最后求

AM

在

n

方向上的投影的长度即为M到平面ACD₁的距离

解答：解  （1）按如图所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为D（0，0，0）、A（3，0，0）、B（3，4，0），C（0，4，0），A₁（3，0，4），B₁（3，4，4），D₁（0，0，4），M（3，2，4），进一步有

BM

=(0，-2，4)，

AC

=(-3，4，0)，

AD1

=(-3，0，4)．
设平面ACD₁的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n  • AC =0 n  • AD1 =0

，即

-3x+4y=0 -3x+4z=0

．取z=3，得x=4，y=3．
所以平面ACD₁的一个法向量为

n

=(4，3，3)．
记

n

与

BM

的夹角为?，BM与平面ACD1所成角为θ，
于是，sinθ=|cos?|=|

n  • BM

| n  |•| BM |

|=

3

170

，θ=arcsin

3 170

170

．
所以，直线BM与平面ACD₁所成角为θ=arcsin

3 170

170

．
（2）记点M到平面ACD₁的距离为d．
由（1）知，平面ACD₁的一个法向量为

n

=(4，3，3)，

AM

=(0，2，4)，
于是，d=

| n • AM |

| n |

=

18

34

=

9 34

17

． 
所以点M到平面ACD₁的距离为d=

9 34

17

．

点评：本题考查了利用空间向量解决立体几何问题的方法和思路，解题时要学会熟练的求平面的法向量，并体会空间线面角、面面角是怎样转化为线线角的．