Question

18．已知数列{a_n}的前n项和是Sn，且Sn=2a_n-1 （n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂ a_n，求数列（-1）ⁿb_n²前2n项的和T．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列的递推公式即可求出数列{a_n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
（Ⅱ）b_n=log₂ a_n=n-1，得到数列{b_n}是以首项为0，公差为1的等差数列，即可求出数列（-1）ⁿb_n²前2n项的和T

解答 解：（Ⅰ）∵s_n=2a_n-1，
∴当n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1．
当n=1时，也成立，
∴a_n=2^n-1．
（Ⅱ）b_n=log₂ a_n=n-1，
∴于是数列{b_n}是以首项为0，公差为1的等差数列，
∴（-1）ⁿb_n²=（-1）ⁿ（n-1）²，
∴T=-b₁²+b₂²-b₃²+b₄²+…-b_2n-1²+b_2n²=b₁+b₂+b₃+…+b_2n-1+b_2n=$\frac{2n•（2n-1）}{2}$=n（2n-1）．

点评 本题考查了数列的递推公式和数列的通项公式和前n项和公式，属于中档题