Question

已知a，b是正数，且满足2＜a+2b＜4．那么a²+b²的取值范围是（　　）

Answer 1

分析：在aob坐标系中，作出不等式表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD．由坐标系内两点的距离公式可得z=a²+b²表示区域内某点到原点距离的平方，由此对图形加以观察可得a²+b²的上限与下限，即可得到本题答案．

解答：解：以a为横坐标、b为纵坐标，在aob坐标系中作出不等式2＜a+2b＜4表示的平面区域，
得到如图的四边形ABCD内部，（不包括边界）
其中A（2，0），B（0，1），C（0，2），D（4，0）
设P（a，b）为区域内一个动点，
则|OP|=

a2+b2

表示点P到原点O的距离
∴z=a²+b²=|OP|²，
可得当P与D重合时，P到原点距离最远，
∴z=a²+b²＜(

42+02

)2=16
可得当P点在直线BA上，且满足OP⊥AB时，
P到原点距离最近，等于

1×2

12+22

=

2 5

5

∴z=a²+b²＞(

2 5

5

)2=

4

5

综上所述，可得a²+b²的取值范围是（

4

5

，16）
故选：B

点评：本题给出二元一次不等式组，求z=a²+b²的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题．