Question

19．设函数f（x）=sin（ωx+ϕ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$上单调，且$f（{\frac{π}{2}}）=f（{\frac{2π}{3}}）=-f（{\frac{π}{6}}）$，则f（x）的最小正周期为π．

Answer 1

分析 由题意求得x=$\frac{7π}{12}$与（$\frac{π}{3}$，0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心，由此求得f（x）的最小正周期．

解答 解：函数f（x）=sin（ωx+ϕ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$上单调，
则$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$，∴0＜ω≤3．
∵$f（{\frac{π}{2}}）=f（{\frac{2π}{3}}）=-f（{\frac{π}{6}}）$，∴x=$\frac{\frac{π}{2}+\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{7π}{12}$，为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴，
且（$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{2}}{2}$，0）即（$\frac{π}{3}$，0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心，
∴$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{4}$，解得ω=2∈（0，3]，∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
故答案为：π．

点评 本题考查三角函数的周期性及其求法，确定x=$\frac{7π}{12}$与（$\frac{π}{3}$，0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键，也是难点，属于难题．