Question

4．方程x²+2x+m=0（m∈R）有两根分别是α和β，求|α|+|β|．

Answer 1

分析 由方程x²+2x+m=0（m∈R）有两个根得到m的范围，然后分类把|α|+|β|中的绝对值去掉，然后结合根与系数的关系得答案．

解答 解：∵α，β是关于x的方程x²+2x+m=0（m∈R）的两个根，
①△=2²-4m≥0，解得m≤1，
且α+β=-2，αβ=m．
当m=1时，α=β=-1，此时|α|+|β|=2；
当m＜1时，不妨设α＜β，
若0≤m＜1，则α＜0，β≤0，
则|α|+|β|=-α-β=-（α+β）=-（-2）=2；
若m＜0，则α＜0，β＞0，且|α|＞|β|，
∴|α|+|β|=-α+β=-（α-β）=$\sqrt{（α+β）^{2}-4αβ}$=2$\sqrt{1-m}$．
②△＜0，m＞1．两根为-1±$\sqrt{m-1}$i，|α|+|β|=2$\sqrt{m}$
综上，当0≤m≤1时，|α|+|β|=2，当m＜0时，|α|+|β|=2$\sqrt{1-m}$，m＞1，|α|+|β|=2$\sqrt{m}$．

点评 本题考查了函数零点与方程的根的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．