Question

2．如图，在三棱椎P-ABC中，D，E，F分别是棱PC、AC、AB的中点，且PA⊥面ABC．
（1）求证：PA∥面DEF；
（2）求证：面BDE⊥面ABC．

Answer 1

分析 （1）由线面平行的判定定理可知，只须证PA与平面DEF内的某一条直线平行即可，由已知及图形可知应选择DE，由三角形的中位线的性质易知：DE∥PA，从而问题得证；
（2）由面面垂直的判定定理可知，只须证两平中的某一直线与另一个平面垂直即可，注意题中已知了线段的长度，那就要注意利用勾股定理的逆定理来证明直线与直线的垂直；通过观察可知：应选择证DE垂直平面ABC较好，由（1）可知：DE⊥AC，再就只须证DE⊥EF即可；这样就能得到DE⊥平面ABC，又DE?平面BDE，从面而有平面BDE⊥平面ABC．

解答 证明：（1）因为D，E分别为PC，AC的中点，所以DE∥PA．
又因为PA?平面DEF，DE?平面DEF，所以直线PA∥平面DEF．
（2）因为D，E，F分别人棱PC，AC，AB的中点，PA=6，BC=8，所以DE∥PA，DE=$\frac{1}{2}$PA=3，EF=$\frac{1}{2}$BC=4．
又因为DF=5，故DF²=DE²+EF²，所以∠DEF=90．，即DE⊥EF．又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC．
因为AC∩EF=E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC．
又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．

点评 本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．