Question

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1，FC的中
点为M．
（1）求证：OM∥平面DAF；
（2）求二面角A-CF-E的大小；
（3）求三棱锥O-MEF的体积．

Answer 1

分析：（1）设DF的中点为N，由三角形中位线定理，我们易确定MNAO为平行四边形，进而OM∥AN，再由线面平行的判定定理我们可得OM∥平面DAF；
（2）取EF的中点G，CD的中点H，连接OG，OH，在O为坐标原点，建立空间坐标系，分别求出平面ACF的一个法向量和平面CEF的一个法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A-CF-E的大小；
（3）取BF的中点Q，连接MQ，由已知可证得MQ为三棱锥M-OEF的高，求出底面△OEF的面积，代入棱锥的体积公式，即可求出三棱锥O-MEF的体积．

解答：证明：（1）设DF的中点为N，则
则MN

∥ .

.

AO，MNAO为平行四边形，
∴OM∥AN，
又AN?平面DAF，OM?平面DAF，
∴OM∥平面DAF．…（4分）
（2）取EF的中点G，CD的中点H，连接OG，OH，在O为坐标原点，建立空间坐标系，如图示：
由已知中AB=2，AD=EF=1，
则A（0，-1，0），B（0，1，0），C（0，1，1），D（0，-1，1），E（

3

2

，

1

2

，0），F（

3

2

，-

1

2

，0），
∴

CF

=（

3

2

，-

3

2

，-1），

AC

=（0，2，1），

EF

=（0，-1，0）
设向量

m

=（a，b，c）为平面ACF的法向量，则

m

⊥

CF

，

m

⊥

AC

即

3 2 a- 3 2 b-c=0 2b+c=0

即向量

m

=（

7 3

3

，1，-2）为平面ACF的一个法向量
设向量

n

=（x，y，z）为平面CEF的一个法向量，则

n

⊥

CF

，

n

⊥

EF

即

3 2 x- 3 2 y-z=0 -b=0

即向量

n

=（1，0，

3

2

）为平面CEF的一个法向量，
设钝二面角为θ，则
cosθ=-

| m • n |

| m |•| n |

=-

2 7

7

∴二面角A-CF-E的大小为：π-arccos

2 7

7

…（8分）
（3）∵V_O-MEF=V_M-OEF
取BF的中点Q，连接MQ，
则MQ∥BC，且MQ=

1

2

BC=

1

2

∵矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，
∴BC⊥平面圆O（ABEF）
∴MQ⊥平面圆O（ABEF）
即MQ是棱锥M-OEF的高
又∵S_△OEF=

3

4

∴三棱锥O-MEF的体积为

3

24

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法，棱锥的体积，其中（1）的净是证得OM∥AN，（2）的关键是建立坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，（3）的关键是利用等体积法，转求三棱锥O-MEF的体积为求三棱锥M-OEF的体积．在解答（2）中易忽略二面角A-CF-E为钝二面角，进而得到答案．