Question

19.如题(19)图,在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,AA₁=2,AB=1,∠ABC=90°;点D、E分别在BB₁、A₁D上，且B₁E⊥A₂D，四棱锥C-ABDA₁与直三棱柱的体积之比为3：5.

            题(19)图

(Ⅰ)求异面直线DE与B₁C₁的距离;

(Ⅱ)若BC=,求二面角A₁-DC₁-B₁的平面角的正切值.

Answer 1

解法一:

(Ⅰ)因B₁C₁⊥A₁B₁,且B₁C₁⊥BB₁,故B₁C₁⊥面A₁ABB₁,从而B₁C₁⊥B₁E,又B₁E⊥DE,故B₁E是异面直线B₁C₁与DE的公垂线.

设BD的长度为x，则四棱椎C-ABDA₁的体积V₁为

V₁=·BC=（DB+A₁A）·AB·BC

 =（x+2）·BC.

第（19）图1

而直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V₂为

V₂=S_△ABC·AA₁=AB·BC·AA₁=BC.

由已知条件V₁:V₂=3:5,故(x+2)=,解

之得x=.

从而B₁D=B₁B-DB=2-.

在直角三角形A₁B₁D中,A₁D=,

又因A₂D·B₁E=A₁B₁·B₁D，

故B₁E=.

(Ⅱ)如图(19)图1,过B₁作B₁F⊥C₁D,垂足为F,连续A₁F,因为A₁B₁⊥B₁C₁,A₁B₁⊥B₁D,故A₁B₂⊥面B₁DC₁.由三垂线定理知C₁D⊥A₁F,故∠A₂FB₁为所求二面角的平面角.

在直角△C₁B₁D中,C₁D=,

又因C₁D·B₁F=B₁C₁·B₁D，故

B₁F=,所以tan∠A₁FB₁=.

解法二

（1）如答（19）图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz,则B（0，0，0），B₃（0，0，2），A（0，1，0），A₁（0，1，2），则=（0，0，2）.=(0,-1,0).

设C₁(a,0,2),则=(a,0,0).

答（19）图2

又设E(0,y₀,z₀),则=(0,y₀,z₀-2),

从而·=0，即⊥.

又⊥,所以B₁E是异面直线B₁C1与DE的公垂线.

下面求点D的坐标.

设D(0,0,z),则(0,0,z).

因四棱锥C-ABDA₁的体积V₁为

V₁=

  =(z+2)·1·|.|

而直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V₂为

V₂=S_△ABC·||=||·||·||=||.

由已知条件V₁:V₂=3:5,故(z+2)=,解得z=,即D(0,0,).

从而(0,0,), =(0,1,), =(0,y₀,z₀-)

接下来再求点E的坐标.

由B₁E⊥DA₁,有·=0，即y₀+(z₀-2)=0  (1)

又由得                 (2)

联立（1）、（2），解得y₀=,z₀=,即E=(0,,),得=（0，,）.

故||=.

(Ⅱ)由已知BC=，则C₁(，0，2)，从而DC₁=(，0，).过B₁作B₁F⊥C₁D，垂足为F，连接A₁F.

设F(x₁，0，z₁)，则=(x₁，0，z₁-2)，因为·=0，故x₁+z₁-=0…①

因=(x₁，0，z₁)且得，即

x₁z₁+=0…②

联立①②解得x₁=,z₁=，即F(，0，).

则=(，-1，)，=(，0，)，

||=.

又·=·+(-1)·0·=0，故A₁F⊥DC₁，因此∠A₁FB₁为所示二面角的平面角，又=(0，-1，0)，从而·=0，故事片A₁B₁⊥B₁F，

△A₁B₁F为直角三角形，所以

tan∠A₁FB₁=.