Question

各项为正数的数列{a_n}，其前n项的和为S_n，且Sn=(

Sn-1

+

a1

)2(n≥2)，若bn=

an+1

an

+

an

an+1

，且数列{b_n}的前n项的和为T_n，则T_n=

4n2+6n

2n+1

．

Answer 1

分析：由题意可得，

sn

=

sn-1

+

a1

，结合等差数列的通项可求

Sn

，进而可求S_n，然后利用n≥2时，a_n=s_n-s_n-1式可求a_n，然后代入bn=

an+1

an

+

an

an+1

后，利用裂项求和即可求解

解答：解：由题意可得，s_n＞0
∵Sn=(

Sn-1

+

a1

)2(n≥2)
∴

sn

=

sn-1

+

a1

即数列{

sn

}是以

a1

为公差以

s1

=

a1

为首项的等差数列
∴

sn

=n

a1

∴sn=n2a1，
∴当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=n2a1-(n-1)2a1=（2n-1）a₁
当n=1时，适合上式
∴bn=

an+1

an

+

an

an+1

=

2n+1

2n-1

+

2n-1

2n+1

=1+

2

2n-1

+1-

2

2n+1

=2+2（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴T_n=2n+2（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=2n+2（1-

1

2n+1

）
=2n+

2n

2n+1

=

4n2+6n

2n+1

故答案为：

4n2+6n

2n+1

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差 数列求解数列的通项公式，及数列的裂项求和，属于数列知识的综合应用