Question

【题目】设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量 =（a， b）， =（sinB，﹣cosA），且 ⊥ ．
（1）求A的大小；
（2）若| |= ，求cosC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ⊥ ，

∴ =asinB﹣ bcosA=0，

由正弦定理知，

sinAsinB﹣ sinBcosA=0；

又sinB≠0，

∴tanA= ；

∵A∈（0，π），

∴A=

（2）解：∵| |= = ，

∴sin2B+ = ，

解得sin2B= ；

由B∈（0，π），

∴sinB= ；

当B为锐角时，cosB= = ，

cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣ × + × = ；

当B为钝角时，cosB=﹣ ，

cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣ ×（﹣ ）+ × = ；

综上，cosC的值为 或

【解析】（1）利用x1x2+y1y2=0将用坐标表示，根据正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB将边转化为角；（2）根据=将用坐标表示可求出sinB，然后利用两角和的余弦即可求解.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数量积判断两个平面向量的垂直关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证;即：两平面垂直两平面的法向量垂直．