Question

设{a_n}为等比数列，S_n为其前n项和，已知a_n+1=2S_n+1．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和H_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据条件a_n+1=2S_n+1，即可求出{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{na_n}的通项公式，利用错位相减法即可求出数列{na_n}的前n项和H_n．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=2S_n+1，
∴a_n=2S_n-1+1，（n≥2）
∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，（n≥2）
∴a_n+1=3a_n，（n≥2），
∴q=3．
对于a_n+1=2S_n+1令n=1，可得a₂=2a₁+1=3a₁，
解得a₁=1，
∴an=3n-1．
（Ⅱ）nan=n•3n-1，
Hn=1+2•3+3•32+…+n•3n-1   ①
3Hn=3+2•32+3•33+…+n•3n   ②
①-②得-2Hn=1+3+32+…+3n-1-n•3n=

1-3n

1-3

-n•3n，
∴Hn=

2n-1

4

×3n+

1

4

．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式的应用，以及数列和的计算，利用错位相减法是解决本题的关键，考查学生的计算能力．