Question

（2011•杭州一模）已知等比数列{a_n}的公比大于1，S_n是数列{a_n}的前n项和，S₃=39，且a₁，

2

3

a2，

1

3

a3依次成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{bn}满足：b₁=3，b_n=a_n（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

）（n≥2），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）先利用等差中项的性质和等比数列前n项和公式，列方程解得数列{a_n}公比和首项，从而由等比数列的通项公式得数列{a_n}的通项公式；
（II）先利用等比数列的前n项和公式，求得数列{bn}的通项公式，再利用等比数列的前n项和公式求数列{b_n}的前n项和T_n即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁，

2

3

a2，

1

3

a3依次成等差数列，∴

4

3

a2=a1+

1

3

a3，即：4a₂=3a₁+a₃．
设等比数列{a_n}公比为q，则4a1q=3a1+a1q2，∴q²-4q+3=0．
∴q=1（舍去），或q=3．
又S3=a1+a1q+a1q2=13a1=39，故a₁=3，
∴an=3n．              
（Ⅱ） 当n≥2时，bn=3n•(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

)=3n•

1 3 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

=

1

2

[3n-3]．
则bn=

3 1 2 [3n-3]

n=1 n≥2

，
∴T_n=3+

1

2

[9+27+81+…+3n-3（n-1）]=3+

1

2

[

9(1-3n-1)

1-3

-3(n-1)]=

1

4

•3n+1-

3

2

n+

9

4

∴Tn=

1

4

•3n+1-

3

2

n+

9

4

．

点评：本题主要考查了等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的运用，一般数列的求和方法，属基础题．