Question

在直角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=15°，两条直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则

c+h

a+b

的值是

 

．

Answer 1

分析：根据勾股定理和三角形面积公式，将 

c+h

a+b

化为关于a、b，c与h的关系，然后求解A的三角函数值即可．

解答：解：∵直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，作CD⊥AB于D，∴CD=h，
∴斜边c=AD+BD，
∴

h

b

=sin15°，

h

a

=cos15°，

h

AD

=tan15°，

BD

h

=tan15°，
∴

c+h

a+b

=

h tan15° +htan15°+h

h cos15° + h sin15°

=

1 tan15° +tan15°+1

1 cos15° + 1 sin15°

，
∵sin15°=

1-cos30° 2

=

1- 3 2 2

=

6 - 2

4

，
cos15°=

1+cos30° 2

=

1+ 3 2 2

=

6 + 2

4

，
tan15°=

6 - 2

6 + 2

=2-

3

．
∴

1 tan15° +tan15°+1

1 cos15° + 1 sin15°

=

1 2- 3 +2- 3 +1

1 6 + 2 4 + 1 6 - 2 4

=

5

2 6

=

5

12

6

．
故答案为：

5

12

6

．

点评：本题在直角三角形中，求斜边与斜边上高之和与两条直角边之和的比值范围．着重考查了勾股定理等知识，属于中档题．