Question

如图，在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设M是△A₁BD内任一点（不包括边界），定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-ADA₁、三棱锥M-ABA₁、三棱锥M-ADB的体积．若f(M)=(

1

12

，x，y)，且ax+y-108xy≥0恒成立，则正实数a的最小值为

 

．

Answer 1

分析：由已知中M是△A₁BD内任一点（不包括边界），f(M)=(

1

12

，x，y)，结合f（M）=（m，n，p）的定义，我们易得x+y=

1

12

（x＞0，y＞0），故我们可将ax+y-108xy≥0恒成立，转化为a≥108y-

y

x

=12-（108x+

1

12x

）恒成立，再由基本不等式求出12-（108x+

1

12x

）的最大值，即可得到答案．

解答：解：∵M是△A₁BD内任一点
∴三棱锥M-ADA₁、三棱锥M-ABA₁、三棱锥M-ADB的体积和等于三锥锥A-A₁BD的体积
即f（M）=（m，n，p）中，m+n+p=

1

6

当f(M)=(

1

12

，x，y)时，可得x+y=

1

12

（x＞0，y＞0）
若ax+y-108xy≥0恒成立
则a≥108y-

y

x

=12-（108x+

1

12x

）恒成立，
∵12-（108x+

1

12x

）≤10-6=4
∴正实数a的最小值为4
故答案为：4．

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，基本不等式，其中根据M是△A₁BD内任一点，结合f(M)=(

1

12

，x，y)，得到x+y=

1

12

（x＞0，y＞0），进而将问题转化为函数恒成立问题，是解答本题的关键．