Question

15．在△ABC中，cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，最长的边长为$\sqrt{5}$，则最短的边长为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 根据已知利用同角三角函数间的基本关系求出sinB，sinA的值，进而求出tanB，tanA的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式表示出tanC，把tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由tanC的值为负数及C的范围得到C为钝角即最大角即c=$\sqrt{5}$，利用特殊角的三角函数值求出C的度数及sinC的值，又tanA大于tanB，根据正切函数为增函数，得到B为最小角，b为最小边，根据正弦定理，由sinB，sinC及c的值即可求出b的值．

解答 解：∵在△ABC中，cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
则tanB=$\frac{1}{3}$，又tanA=$\frac{1}{2}$，且C=π-（A+B），
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}$=-1，
∵C∈（0，π），∴C为钝角，则C＞A且C＞B，
∴C=$\frac{3π}{4}$，且c为最大边，则c=$\sqrt{5}$，sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵tanA＞tanB，∴A＞B，则B为最小角，b为最小边，
根据正弦定理得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{\sqrt{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=1．
故选：C．

点评 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及诱导公式化简求值，灵活运用两角和的正切函数公式及正弦定理化简求值，掌握三角形中大边对大角，小角对小边的性质的运用，是一道中档题．