Question

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂+a₄=6，S₄=10．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^*），求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式求出a₁=1，d=1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由已知条件得：

a1+a2+a3+a4=10 a2+a4=6

，
∴

4a1+6d=10 2a1+4d=6

，
解得a₁=1，d=1，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n．（4分）
（Ⅱ）∵b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，
T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2²（1-2）+2³（2-3）+…+2ⁿ[（n-1）-n]+n×2ⁿ⁺¹-2
=-（2+2²+2³+…+2ⁿ）+n×2ⁿ⁺¹
=-

2(1-2n)

1-2

+n×2n+1
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．（10分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．