Question

已知a>0，数列满足a₁=a，a_n+1=a+，n=1，2，…．

（1）已知数列极限存在且大于零，求（将A用a表示）；

（2）设b_n=a_n-A，n=1，2，…，证明：b_n+1=；

（3）若对n=1，2…都成立，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力． （1）解：存在，且A=(A>0)，对an+1=a+两边取极限得． A=a+．解得A=．又A>0，∴ A=． （2）证明：由an=bn+A，an+1=a+得    bn+1+A=a+． ∴ ． 即bn+1=对n=1，2，…都成立． （3）解：令． ∴ ∴ -a£1，解得a³． 现证明当a³时，对n=1，2，…都成立． ①当n=1时结论成立（已验证）． ②假设当n=k(k³1)时结论成立，即，那么． 故只须证明，即证对a³成立． 由于， 而当a³时，-a£1，∴ A³2． ∴ ． 故当a³时，． 即n=k+1时结论成立． 根据①和②，可知结论对一切正整数都成立． 故对n=1，2…都成立的a的取值范围为．