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精英家教网设a>0,如图,已知直线l:y=ax及曲线C:y=x2,C上的点Q1的横坐标为a1(0<a1<a).从C上的点Qn(n≥1)作直线平行于x轴,交直线l于点Pn+1,再从点Pn+1作直线平行于y轴,交曲线C于点Qn+1.Qn(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{an}.
(Ⅰ)试求an+1与an的关系,并求{an}的通项公式;
(Ⅱ)当a=1,a1
1
2
时,证明
n
k=1
(ak-ak+1)ak+2
1
32

(Ⅲ)当a=1时,证明
n
k-1
(ak-ak+1)ak+2
1
3
分析:(Ⅰ)根据Qn,Pn+1,Qn+1的坐标进而求得an+1=
1
a
a
2
n
,进而通过公式法求得{an}的通项公式.
(Ⅱ)把a=1代入an+1=
1
a
a
2
n
,根据a1
1
2
可推断a2
1
4
a3
1
16
,由于当k≥1时,ak+2a3
1
16
.进而可知(ak-ak+1)ak+2
1
16
(ak-ak+1)=
1
16
(a1-an+1)<
1
32

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,当a=1时,an=
a
2n-1
1
代入
n
k-1
(ak-ak+1)ak+2
中,进而根据
n
k=1
(ak-ak+1)ak+2
2n-1
i=1
 (
a
1
i
-
a
1
i+1
)
a
1
2i+2
证明原式.
解答:(Ⅰ)解:∵Qn(an-1
a
2
n
),Pn+1(
1
a
a
2
n
a
2
n
),Qn+1(
1
a
a
2
n
1
a2
a
4
n
)

an+1=
1
a
a
2
n

an=
1
a
a
2
n-1
=
1
a
(
1
a
a
2
n-2
)2=(
1
a
)1+2
a
22
n-2

=(
1
a
)1+2(
1
a
a
2
n-3
)22=(
1
a
)1+2+22
a
23
n-2

=(
1
a
)1+2+…+2n-2
a
2n+1
1
=(
1
a
)2n-1-1
a
2n-1
1
=a(
a1
a
)2n-1

an=a(
a1
a
)
2n-1


(Ⅱ)证明:由a=1知an+1=an2
a1
1
2
,∴a2
1
4
a3
1
16

∵当k≥1时,ak+2a3
1
16

(ak-ak+1)ak+2
1
16
(ak-ak+1)=
1
16
(a1-an+1)<
1
32


(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知,当a=1时,an=
a
2n-1
1

因此
n
k=1
(ak-ak+1)ak+2=
n
k=1
(
a
2k-1
1
-
a
2k
1
)
a
2k+1
1
2n-1
i=1
(
a
i
1
-
a
i+1
1
)
a
2i+2
1

=(1-a1)
a
2
1
2n-1
i=1
a
3i
1
<(1-a1)
a
2
1
a
3
1
1-
a
3
1
=
a
5
1
1+a1+
a
2
1
1
3
点评:本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识,综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力,
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3)当a=1,证明

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(Ⅱ)当a=1,a1时,证明
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(Ⅰ)试求an+1与an的关系,并求{an}的通项公式;
(Ⅱ)当时,证明
(Ⅲ)当a=1时,证明

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