Question

（04年北京卷理）（14分）

如图，过抛物线y²=2px (p>0) 上一定点P(x₀, y₀) (y₀>0)，作两条直线分别交抛物线于A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂).

（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；

（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，

求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数。

 

Answer 1

解析：（I）当y=时，x=，

又抛物线y²=2px的准线方程为x=－，

由抛物线定义得，所以距离为.

（II）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB.

由       =2px₁，=2px₀

相减得    （y₁－y₀）(y₁+y₀)=2p(x₁－x₀)

故       k_PA=  （x₁≠x₀）

同理可得  k_PB=（x₂≠x₀）

由PA，PB倾斜角互补知k_PA=－k_PB，

即       =－，

所以     y₁+y₂=－2y₀，

故      

设直线AB的斜率为k_AB。

由     =2px₂，   =2px₁

相减得    （y₂－y₁）(y₂+y₁)=2p(x₂－x₁)，

所以     k_AB=（x₁≠x₂）

将 y₁+y₂=－2y₀   (y₀>0 )代入得

k_AB==－，所以k_AB是非零常数。