Question

项数大于3的等差数列{a_n}中，各项均不为零，公差为1，且

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a1a3

=1，则其通项公式为

a_n=n（n∈N^*）

．

Answer 1

分析：由数列的各项均不为0，在已知等式左右两边同时乘以a₁a₂a₃，去分母后根据等差数列的性质化为关于a₂与d的关系式，把公差d=1代入求出a₂的值，然后由公差d及a₂的值，即可得到等差数列的通项公式．

解答：解：将

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a1a3

=1去分母得：a₁+a₂+a₃=a₁a₂a₃，
又a₁+a₃=2a₂，a₁=a₂-d，a₃=a₂+d，
∴3a₂=a₂×（a₂²-d²），又d=1，
∴a₂²=3+d²=4，
解得：a₂=2或a₂=-2，
若a₂=-2，则a₄=0，与各项均不为0矛盾，
故a₂≠-2，
∴a₂=2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=n（n∈N^*）．
故答案为：a_n=n（n∈N^*）

点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的通项公式，解题的关键是对题设中所给的方程进行变形以及利用等差数列的性质用a₂与公差表示出其余两项，求出a₂．