Question

已知P(1，1)为椭圆＝1内一定点，过点P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－1)，把它代入椭圆方程消去y并整理得：－4k(k－1)x＋(－4k－2)＝0①设过点P的弦交椭圆于A()，B()且点P平分AB，则是方程①的两个根．由韦达定理得 　　∴＝2，解得k＝－， 　　故所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即：x＋2y－3＝0． 　　解法二：设AB为所求的弦，AB所在直线的斜率为k，A()，B()，则由题意得： 　　①－② 得＝0⑥ 　　把③④代入⑥得：＝0 　　两边同除以 　　把⑤代入⑦得＋k＝0 ∴k＝－． 　　由点斜式得弦所在直线的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0． 　　分析一 只须求出弦所在直线的斜率即可． 　　分析二 本题若能注意到弦的两端点在椭圆上，P为弦的中点和弦所在直线的斜率，利用方程的思想，很快可获解．

提示：

关于中点弦问题的求解，除了用韦达定理外，也可利用方程的思想来解决．解法二中AB两点设而不求，方程组的布列及解法较典型，应当反思．一般地直线与圆锥曲线的交点是一个或两个，以交点坐标为参数，则参数有两个或四个，因此所列方程的个数是三个或五个，即比参数个数多一个，它们通常由如下条件列出： 　　(1)弦的两端点坐标满足曲线方程； 　　(2)弦的中点坐标满足中点公式； 　　(3)弦的两端点与弦所在直线上其他给定的点共线，从而斜率相等．