Question

已知(x2-2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a20(x-1)20
（1）求a₂的值
（2）求a₁+a₃+a₅+…+a₁₉的值
（3）求a₀+a₂+a₄+…+a₂₀的值．

Answer 1

分析：（1）令x-1=t，则已知条件即 (t2-4)10=a0+a1t+a2t2+…+a20t20，由此可得可得 a2=

C

9 10

•(-4)9，运算求得结果．
（2）令t=1可得

a0+a1+a2+…+a20=310

；再令t=-1可得

a0-a1+a2-a3…+a20=310

，由此可得 a₁+a₃+a₅+…+a₁₉  的值．
（3）由（2）可得a₀+a₂+a₄+…+a₂₀  的值．

解答：解：（1）令x-1=t，则已知条件即 (t2-4)10=a0+a1t+a2t2+…+a20t20．
可得 a2=

C

9 10

•(-4)9=-49×10．
（2）令t=1可得

a0+a1+a2+…+a20=310

；再令t=-1可得

a0-a1+a2-a3…+a20=310

，
∴a₁+a₃+a₅+…+a₁₉=0．
（3）由（2）可得a₀+a₂+a₄+…+a₂₀=3¹⁰．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．