Question

已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）且当x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，给出四个命题：
①f（3）=0； ②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；   ④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为

①②④

．

Answer 1

分析：①令x=-3，代入f（x+6）=f（x）+f（3），根据函数为偶函数，得到f（3）=0；
②将f（3）=0代入，得到f（-x-6）=f（x），确定x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③根据偶函数f（x）在[0，3]上为增函数，且周期为6得到函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数；
④根据f（3）=0，周期为6，得到f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，有四个零点．

解答：解：①令x=-3，则由f（x+6）=f（x）+f（3）得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0．①正确；
②由f（3）=0，f（x）为偶函数得：f（-6-x）=f（x），故直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，②正确；
③因为当x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，故f（x）在[0，3]上为增函数，又f（x）为偶函数，故在[-3，0]上为减函数，又周期为6．故在[-9，-6]上为减函数，③错误；
④函数f（x）周期为6，故f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，故y=f（x）在[-9，9]上有四个零点，④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了抽象函数的单调性，奇偶性，周期性，综合性比较强，需熟练灵活掌握．