Question

已知⊙F₁：(x+

3

)2+y2=16，F2(

3

，0)，在⊙F₁上取点P，连接PF₂，作出线段PF₂的垂直平分线交PF₁于M，当点P在⊙F₁上运动时M形成曲线C．（如图）
（1）求曲线C的轨迹方程．
（2）过点F₂的直线l交曲线C于R，T两点，满足|RT|=

3

2

，求直线l的方程．
（3）点Q在曲线C上，且满足∠F1QF2=

π

3

，求S△F1F2Q．

Answer 1

分析：（1）由题意有|PM|=|F₂M|从而有|MF₁|+|MF₂|=|PF₁|=4，根据椭圆的定义得点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆．再写出其方程即可；
（2）设l的方程为y=k(x-

3

)，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用线段的比例关系即可求得k值，从而解决问题．
（3）根据三角形中的余弦定理可得12=|QF₁|²+|QF₂|²-|QF₁|•|QF₂|而|QF₁|+|QF₂|=4，从而得出 |QF1|•|QF2|=

4

3

最后利用三角形的面积公式求解即得．

解答：解：（1）由题意有|PM|=|F₂M|
∴|MF₁|+|MF₂|=|PF₁|=4
∴点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆．
其方程为

x2

4

+y2=1
（2）设l的方程为y=k(x-

3

)，
（若l的斜率不存在，则R(0，

1

2

)，T(0，-

1

2

)，∴|RT|=1，不合题意）
代入x²+4y²-4=0整理有(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0
设R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）
椭圆右准线方程为：x=

4

3

=

4

3

3

，离心率e=

3

2

．
过R、T作右准线的垂线，设垂足分别为R₂、T₂，则|RT|=|RF2|+|TF2|=

3

2

(|RR2|+|TT2|)=

3

2

(

4 3

3

-x1+

4 3

3

-x2)
=

3

2

×

8 3

3

-

3

2

(x1+x2)=4-

3

2

(x1+x2)=

3

2

∴

3

2

(x1+x2)=

5

2

即

3

•

8 3 k2

1+4k2

=5
解之有k2=

5

4

，k=±

2

2

∴l的方程为y=±

5

2

(x-

3

)
（3）|QF₁|+|QF₂|=4|F1F2|2=|QF1|2+|QF2|2-2|QF1|•|QF2|•cos

π

3

∴12=|QF₁|²+|QF₂|²-|QF₁|•|QF₂|
而|QF₁|+|QF₂|=4，
∴|QF₁|²+|QF₂|²+2|QF₁|•|QF₂|=16
∴12=16-2|QF₁|•|QF₂|-|QF₁|•|QF₂|
∴|QF1|•|QF2|=

4

3

∴S_△F1F2Q=

1

2

|QF1|•|QF2|•sin

π

3

=

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

．

点评：本小题主要考查椭圆的定义、直线与圆锥曲线的综合问题、直线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于中档题．