Question

设z是虚数，满足ω=z+

1

z

是实数，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设u=

1-z

1+z

．求证：u是纯虚数；
（3）求ω-u²的最小值．

Answer 1

分析：（1）设出复数z，写出ω的表示式，进行复数的运算，把ω整理成最简形式，根据所给的ω的范围，得到ω的虚部为0，实部属于这个范围，得到z的实部的范围．
（2）根据设出的z，整理u的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长是1，得到u是一个纯虚数．
（3）ω-u2=2a+

b2

(1+a)2

=2a+

1-a2

(1+a)2

=2a+

1-a

1+a

=2[(a+1)+

1

a+1

]-3，再利用基本不等式即可求ω-u²的最小值．

解答：解：（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈R，b≠0）则ω=z+

1

z

=a+bi+

1

a+bi

=a+bi+

a-bi

a2+b2

=a+

a

a2+b2

+(b-

b

a2+b2

)i
∵ω∈R∴b-

b

a2+b2

=0且b≠0得a²+b²=1即|z|=1
此时，ω=2a，∵-1＜ω＜2∴-

1

2

＜a＜1即z的实部的取值范围为(-

1

2

，1)．…（4分）
（2）u=

1-z

1+z

=

1-(a+bi)

1+(a+bi)

=

[(1-a)-bi][(1+a)-bi]

(1+a)2+b2

．
∵a²+b²=1
∴u=-

b

1+a

i又b≠0，-

1

2

＜a＜1故u是纯虚数．…（8分）
（3）ω-u2=2a+

b2

(1+a)2

=2a+

1-a2

(1+a)2

=2a+

1-a

1+a

=2[(a+1)+

1

a+1

]-3
由a∈(-

1

2

，1)知(a+1)+

1

a+1

≥2，
故当且仅当a+1=

1

a+1

，a=0时ω-u²的最小值为1．…（14分）．

点评：本题考查复数的代数形式的运算，本题是一个运算量比较大的问题，题目的运算比较麻烦，解题时注意数字不要出错．