Question

7．设函数f（x）是定义在（1，+∞）上的一个函数，且有f（x）=2f（$\frac{1}{x}$）$\sqrt{x}$-1，则f（x）=$\frac{2}{3}$$\sqrt{x}$+$\frac{1}{3}$，x∈（1，+∞）．

Answer 1

分析 利用，得到方程，然后求解方程组即可得到结果．

解答 解：f（x）=2f（$\frac{1}{x}$）$\sqrt{x}$-1…①，
$\frac{1}{x}$代替x，可得：f（$\frac{1}{x}$）=2f（x）$\sqrt{\frac{1}{x}}$-1…②，
②代入①可得f（x）=2（2f（x）$\sqrt{\frac{1}{x}}$-1）$\sqrt{x}$-1，
解得：f（x）=$\frac{2}{3}$$\sqrt{x}$+$\frac{1}{3}$，x∈（1，+∞）．
故答案为：$\frac{2}{3}$$\sqrt{x}$+$\frac{1}{3}$，x∈（1，+∞）．

点评 本题考查函数的解析式的求法，基本知识与基本方法的考查．