Question

设直线l：y=k（x+1）与椭圆x²+3y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，直线l显然不平行于坐标轴，
故y=k（x+1）可化为
将代入x²+3y²=a²，消去x，
得①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得
△=
化简整理即得．（☆）
（Ⅱ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由①，得②
因为，由，
得y₁=-2y₂③
由②③联立，解得y₂=④
△OAB的面积
=
上式取等号的条件是3k²=1，即
当时，由④解得；
当时，由④解得．
将及这两组值分别代入①，
均可解出a²=5
经验证，a²=5，满足（☆）式．
所以，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程是x²+3y²=5
注：若未验证（说明）满足（☆）式，．
分析：（I）设直线l的方程为y=k（x+1），将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合直线l与椭圆相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，从而解决问题．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（I），得，由，得y₂=从而求得△OAB的面积，最后利用基本不等式求得其最大值，及取值最大值时的k值，从而△OAB的面积取得最大值时椭圆方程即可．
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、基本不等式、椭圆方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．