Question

己知P是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上的点，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，若

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

=

1

2

，则△F_IPF₂的面积为（　　）

• A、

  3

  3

• B、

  3

• C、2

  3

• D、3

  3

Answer 1

分析：由两个向量数量积的定义求得＜

PF1

，

PF2

＞=

π

3

，△F_IPF₂中，由余弦定理求出 PF₁•PF₂ 的值，再代入△F_IPF₂的面积公式进行运算．

解答：解：∵

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

=

1

2

，
则cos＜

PF1

，

PF2

＞=

1

2

，
∴＜

PF1

，

PF2

＞=

π

3

，a=2，b=

3

，c=1，
△F_IPF₂中，由余弦定理得
（2c）²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂×cos

π

3

 
=（pF₁+PF₂）²-2PF₁•PF₂-2PF₁•PF₂ cos

π

3

=16-3 PF₁•PF₂，
即 4=16-3 PF₁•PF₂，∴PF₁•PF₂=4，
故△F_IPF₂的面积为

1

2

 PF₁•PF₂ sin

π

3

=

3

，
故选B．

点评：本题考查两个向量的数量积公式和余弦定理、三角形的面积公式的应用，椭圆的定义及简单性质得应用．